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翻译自英文版本 在这篇博客中，我们将尝试理解扩散家族中的成员——DDPM。鉴于变分自编码器（VAE）和扩散模型共享的常见结构，我们首先讨论一些重要的VAE内容，然后介绍DDPM。这篇博客试图做到自成体系并在数学上清晰，但假定读者有一定的VAE和生成模型的先验知识。 参考文献: VAE 在 Wikipedia Lil’Log 什么是扩散模型? 滑铁卢大学 STAT940 第17讲 by Ali Ghodsi VAE 和 ELBO 在生成模型中，我们的主要目标是观察数据集，学习其底层分布，然后从学习到的分布中生成新样本。在VAE方案中，我们采用类似于自编码器的结构，如下图所示： graph LR A[输入] --> B[编码器] B --> C[潜在空间] C --> D[解码器] D --> E[输出] N((噪声)) --> C 在推理过程中，我们会舍弃编码器，采样一些噪声来构建潜在变量，然后使用解码器生成样本。潜在变量通常从标准高斯分布中采样。 我知道这可能仍然不清楚，所以让我们深入数学细节。 假设我们有一些数据，我们可以用参数 $\theta$ 来建模数据分布。分布可以表示为 $p_\theta(x) = p(x|\theta)$。问题是我们不知道参数 $\theta$，这正是我们想要学习的。我们能最大化数据的似然吗？可以，但这可能难以优化好，并且我们失去了生成新样本的能力。 VAE引入了潜在变量 $z$ 来建模数据的复杂结构，它与数据 $x$ 具有联合分布。然后 $p_\theta(x)$ 是 $p_\theta(x, z)$ 的边缘分布。我们可以将边缘分布写为： $$ p_\theta(x) = \int p_\theta(x, z) dz $$ 根据简单的概率规则，我们进一步写成： $$ p_\theta(x) = \int p_\theta(x|z)p_\theta(z) dz $$...